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数学建模小论文：巧用数学断“奇案”（第十三届）——对北京公交特9路里程争议的数学分析
北京市西城区育翔小学 四年级8班 洪同学
摘要：学习数学是为了解决实际问题。最近媒体报道了北京公交特9路多收票款的案例，在社会上引起了广泛争论。乘客和公交集团各执一词，都没有说服对方。本文小作者喜欢学习数学，而且酷爱研究公交线路图。他在妈妈的帮助下，运用所学的数学知识和掌握的公交线路，广泛查阅资料，深入分析测算，横向分析，纵向对比，得出有说服力的结论，进行了一次用数学知识解决生活问题的成功尝试。
正文：
生活中的数学无处不在。最近我有一次难忘的经历。
据2015年5月6日北京新闻广播报道，北京公交特9路被指多计里程、多收费。我对公交线路最感兴趣了，一听到这个消息，一下就竖起了耳朵。这究竟怎么回事？
原来，事情是这样的：一位乘客从特9路营慧寺站上车，到北大地站下车，公交卡被扣了1.5元。按照公交票价方案，10km以内（含）票价2元，每增加5km（含）加价1元，刷卡享受5折优惠。看来，这段路被计算为超过10km。这名乘客说，这段线路他经常开车，实际距离只有9.4km，坐公交怎么就超过10km了？多出的至少0.6km是从哪来的？他向公交集团提出质疑，公交集团答复，特9路在这段路程中，因为进站出站等原因，有过多次变道，这会产生“冤枉路”，使得实际里程超过了自驾里程。乘客认为，就算加上进出站变道距离，也不至于多出0.6km的“冤枉路”，他不同意公交集团的解释。
乘客和公交集团各说各的理。到底谁对谁错？这可激起了我的好奇心，我想用美妙的数学知识，好好地探索其中的奥秘，断一断这个奇怪的案子。
妈妈听了我的想法，夸奖我善于发现问题，从新闻报道中捕捉到一个有趣而且重要的问题。她非常赞成我的想法，并且支持我开展这项研究。我们开始设计研究方案，提出了2个假设：
假设1：如果公交集团说的有道理，这意味着开车每9.4km，因变道将至少产生0.6km“冤枉路”，相应地就要多耗费不少汽油，多排放污染物，多花不少油钱。如果是这样，那我就要用研究的成果，提醒开车的叔叔阿姨们，开车时不要老是变道，这样不但不安全，而且浪费资源、浪费钱财。
假设2：如果乘客说的有道理，这意味着公交集团计算有误，也就是说多收了乘客的钱。那么，乘坐这趟公交的乘客一年得花多少“冤枉钱”啊！我将把自己的研究成果告诉公交集团，请他们赶紧改正错误，别让乘客花“冤枉钱”了。
看来，无论谁对谁错，要么是变道产生不可低估的“冤枉路”，要么是多算里程让乘客多花数量可观的“冤枉钱”。这可真得好好算一算，弄得明明白白。
要怎么研究呢？我和妈妈一起商量了3个研究步骤。
步骤1：运用数学知识，测算每次公交进站变道产生的“冤枉路”到底有多少，看看是不是存在公交集团所说的那么多“冤枉路”。
妈妈说，要计算变道产生的“冤枉路”，可是比较复杂的过程，这与变道的宽度、角度都有关系，但其中有规律可循，我们可以假设几种情况，找一找其中的规律。我们一起画了公交车进出站的示意图：
如图所示，DC所在的直线为公交车进站前行驶的车道，C点是公交车进站变道时的起始点，B点是公交车进站停靠的站点，D点是公交车出站后回到原车道时的交点。A点为通过公交站点B向车道DC作出的垂线与DC的交点。
假设特9路进站时，只变更一条车道，并且进出站的轨迹是一个等腰三角型。根据查找的有关资料，北京市四环路的车道宽度标准为3.75m，也就是说，线段AB的长度为3.75m。
△ABC、△ABD都是以A为直角的三角形，公交车进站时所走的距离为线段BC的长度。如果不进站，所走的距离则为线段AC的长度。进站变道产生的“冤枉路”S=BC-AC。
1．为了便于计算，假设△ABC是满足边长比例为3:4:5的直角三角形（这样我就可以用掌握的勾股定理自己测算了），即AB:AC:BC=3:4:5，∠BAC=90o，
此时 AB=3.75m，
AC=3.75÷3×4=5m，
BC=3.75÷3×5=6.25m。
则S=BC-AC=6.25-5=1.25m。
2．假设∠C无限接近于0o，则线段BC的长度无限接近于线段AC的长度，可看作BC=AC，此时S=BC-AC=0。
3．假设∠C=90o，则C点与A点重合，BC=AB=3.75m，此时S=BC-AC=3.75-0=3.75m。
由以上推理可知，公交车进站时角度越小，“冤枉路”越短；角度越大，“冤枉路”越长。最长的“冤枉路”是车道宽，即3.75m。
同理可知，公交车出站时多行驶的最大距离也是车道的宽度3.75m。公交车一次进、出站，比直行时多行驶的距离最多为车道宽度的2倍，即3.75×2=7.5m。
特9路外环车从营慧寺到北大地一共只有4站，进、出站变道时多行驶的最大距离为7.5×4=30m。
如果按照公交集团的说法，0.6km主要是由变道产生的额外距离，那么，除去4次进出站变道产生的最大距离30m,剩下的600-30=570m的路程，就是行驶中变道产生的。
我们接着算了算，看这570m的额外距离，究竟要有多少次变道来产生？我们仍按每次变道最多行驶3.75m计算，变道的次数是570÷3.75=152次。
这表明，除了进出站之外，特9路公交车在9.4km的路程中，还有至少152次的变道。也就是说，平均每61.84m就要变道一次！这显然是不可能的。
所以，公交集团说的特9路在营慧寺站和北大地站之间，因变道产生0.6km“冤枉路”的说法不可信。变道确实产生额外路程，但这个路程数量很小，不足以产生超过600m的距离。我们的计算结果表明，特9路里程计算有误！
为了进一步验证我们的计算结果。我们还从网上查到了公交票价调整前特9路的站牌，营慧寺站至北大地站之间的计价里程是9km。这印证了我们的计算结果！
步骤2：选择更多的公交线路，运用统计分析法，看看变道产生“冤枉路”的问题是不是普遍存在于公交线路中。
妈妈带着我查了很多公交线路的资料，在此基础上，重点分析了我经常乘坐的特3、特13、508等26条公交线路，用地图软件逐一验证，看看公交梯形票价表显示的计价里程为11km（也就是实际里程超过10km，票价由2元变为3元的临界点）的车站之间实际距离是多少。
统计结果表明，其中24条线路计价里程为11km的公交车站之间的距离都超过10km。也就是说，这24条线路的计价里程与实际相符，不存在特9路那样明显的差距。
26条线路中，有2条线路存在与特9路类似的情况。一条是345路慢车，北行方向，路庄桥北到昌平中心公园区间，几个主要地图软件计算的距离是9.95km，345路慢车梯形票价表显示的计价里程超过10km。我们发现，该区间共有8站，进、出站多行驶的最大距离为7.5×8=60m，计价里程超过10km，属于合理范围。
另一条是909路，东行方向，上清桥南到鼓楼桥西区间，几个主要地图软件计算的距离是9.9km，梯形票价表显示的计价里程也超过10km。该区间共有11站，进、出站多行驶的最大距离为7.5×11=82.5m，总的行驶距离非常接近于10km，也属于合理范围。
分析结果表明，绝大多数公交线路计价里程与地图测算里程是相符的。特9路多计里程的现象只是特殊情况，公交集团不是故意多算的，特9路的里程错误应该是一个无意的错误。
这下，真相大白了！
步骤3：测算公交特9路多收的乘客“冤枉钱”到底有多少？
假设有一名工薪阶层的乘客，需要乘坐特9路该区间段上下班，每个工作日乘坐该区间段往返各1次，每次都刷卡，一年大约250个工作日，一年下来的损失是：
0.5×2×250=250（元）
这只是一年的损失，要是八年、十年下来，还不得损失好几千元啊？真是“差之毫厘，谬以千里”！对于一个工薪阶层来说，这个损失可不是一个小数目。
假设特9路每天有100人次像这样被多收“冤枉钱”，而且每位乘客都是刷卡，那么，公交集团每天多收乘客的“冤枉钱”就是：
0.5×100=50（元）；
一年下来多收乘客的“冤枉钱”是：
50×365=18250（元）。
如果这100人次中，还有一小部分是买票乘车的，每人每次就得多扣1元，那么公交集团一年多收乘客的“冤枉钱”将有2万元左右！
结论：
经过统计和测算，我终于解开了特9路公交里程争议之谜。无论是与其他公交线路横向比较，还是与特9路公交调价前的计价里程相比，特9路确实存在多计里程、多收费的问题。
我将在提交这份论文的同时，把它寄给公交集团，建议他们修改一下特9路公交梯形票价表，不要再收乘客的“冤枉钱”了。
如果公交集团采纳了我的建议，每年就可以让特9路的乘客少花约2万元的“冤枉钱”，这多有意义啊！我一定要好好学习数学，善于运用数学解决生活中的问题，让美妙的数学知识派上大用场！
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